그림과 같은 부정정보가 등분포 하중( ω )을 받고 있을 때 B점의 반력 Rb 는?
지난 글에서 위 문제를 평형 방정식들 '만' 사용하여 풀이한결과 오답이 나왔고, 부정정보일 경우 어떠한 조건들이 있는지 찾아 보았습니다.
보통 부정정보일 경우, 부정정보를 여러개의 '보'(beam) 으로 나누어
나누어진 부분의 경계 조건들에서 식을 하나 도출하여 풀이를 하는 것으로 생각됩니다.
부정정보를 분석할 때, 생각해보아야 할 만한 조건들은 다음과 같습니다.
1. 처짐량(Deflection, δ)
- 처짐량은 부정정보 문제에서 가장 중요한 변수 중 하나입니다. 처짐은 구조물의 특정 지점에서 하중에 의해 발생하는 변위(구조물의 수직 이동)를 말합니다.
- 처짐량은 하중의 크기, 위치, 구조물의 길이, 그리고 구조물의 재료 특성(탄성계수, 단면 2차 모멘트)에 따라 달라집니다.
- 부정정보 문제에서는 처짐이 특정 지점에서 동일하거나 상쇄되도록 조건이 주어집니다. 예를 들어, 고정단에서는 처짐이 0이어야 하고, 여러 지점에서 발생하는 처짐이 상호 균형을 이루어야 구조물이 안정됩니다.
- 처짐량을 구하는 공식은 하중의 종류(집중 하중, 등분포 하중 등)와 보의 지지 조건에 따라 달라집니다.
- 예를 들어
- 등분포 하중이 걸린 외팔보에서의 최대 처짐량:
- 집중 하중이 걸린 외팔보에서의 최대 처짐량:
- 등분포 하중이 걸린 외팔보에서의 최대 처짐량:
- 예를 들어
2. 반력(Reaction Forces, R)
- 반력은 구조물의 지지점에서 외력에 대항하여 발생하는 힘입니다.
- **정정보(Determinate Structure)**에서는 힘의 평형 조건만으로 반력을 쉽게 계산할 수 있지만, 부정정보에서는 처짐, 변형, 기울기와 같은 조건을 추가적으로 고려해야 합니다.
- 부정정보에서는 반력을 계산하기 위해 구속 조건과 처짐 조건을 적용하며, 이러한 조건들이 반력과 처짐을 상호 결정합니다.
- 예를 들어, A점에서의 반력과 B점에서의 반력은 처짐의 상쇄 조건을 통해 구할 수 있습니다.
3. 기울기(Slope, θ)
- 기울기는 처짐 곡선에서의 기울기, 즉 단위 길이당 처짐의 변화율을 말합니다.
- 부정정보에서는 특정 지점에서 기울기가 고정되거나 상쇄되는 경계 조건이 주어질 수 있습니다. 예를 들어, 고정단에서는 기울기(회전 각도)가 0이어야 합니다.
- 기울기는 처짐과 함께 보의 변형을 나타내며, 모멘트와도 깊은 관련이 있습니다. 탄성선 방정식을 적분할 때 기울기 변수를 경계 조건으로 사용하여 문제를 풀 수 있습니다.
4. 구속 조건(Constraint Conditions)
- 구속 조건은 구조물의 특정 지점에서 처짐이나 기울기(회전)를 제한하는 조건입니다. 예를 들어:
- 고정단에서는 처짐과 기울기 모두가 0이어야 합니다.
- 힌지나 롤러 지지점에서는 처짐이 제한되지만, 기울기는 허용됩니다.
- 부정정보 문제를 풀 때, 이러한 구속 조건을 이용해 문제의 미지수를 결정합니다. 구조물의 여러 지점에서 구속 조건을 적용함으로써 각 지점의 반력과 처짐을 상호 계산할 수 있습니다.
5. 탄성계수(Elastic Modulus, E)
- 탄성계수는 재료가 변형에 대해 얼마나 저항하는지를 나타내는 물리적 특성으로, 재료의 강성을 나타냅니다.
- 탄성계수가 클수록 보의 변형과 처짐이 적게 발생합니다. 따라서, 처짐량을 계산할 때 탄성계수가 중요한 역할을 합니다.
- 부정정보에서 재료의 특성을 고려할 때, 처짐이나 반력 계산에 탄성계수가 들어가며, 이는 구조물의 강도나 유연성에 직접적인 영향을 미칩니다.
6. 단면 2차 모멘트(Moment of Inertia, I)
- 단면 2차 모멘트는 보의 단면 형상에 따른 저항 특성을 나타냅니다. 구조물의 저항력을 결정하는 중요한 요소로, 단면 2차 모멘트가 클수록 구조물이 덜 휘어지며 처짐이 작아집니다.
- 처짐량을 계산할
때 중요한 변수로 작용하며, 단면의 형태에 따라 보의 강성이 달라지게 됩니다. 예를 들어, I자형 보(I-beam)는 단면 2차 모멘트가 크기 때문에 처짐에 더 강한 저항력을 가집니다.
단면 2차 모멘트 I는 보의 처짐 공식에 직접적으로 들어가며, II 값이 클수록 처짐이 줄어들게 됩니다. 처짐량을 계산할 때는 다음과 같은 방식으로 단면 2차 모멘트가 사용됩니다:
따라서 보의 단면 형상에 따라 처짐과 반력 해석이 달라지게 됩니다.
7. 하중(Load, ω, P)
- 집중 하중(P) 또는 **등분포 하중(ω)**은 보에 작용하는 외부 하중으로, 구조물의 변형을 유발하는 중요한 변수입니다.
- 하중의 크기와 작용 위치에 따라 보의 반력, 모멘트, 그리고 처짐이 결정됩니다. 부정정보에서는 하중의 형태에 따라 변형이 달라지므로, 이를 정확히 파악해야 문제를 해결할 수 있습니다.
- 예를 들어, 등분포 하중이 걸린 보에서의 하중은 보 전체에 걸쳐 균일하게 작용하며, 이는 구조물의 처짐과 반력 계산에 큰 영향을 줍니다.
8. 모멘트(Moment, M)
- 모멘트는 하중이 보에 작용할 때 발생하는 회전 효과를 나타냅니다. 보에서의 모멘트는 각 지점에서 발생하는 회전력으로, 부정정보에서는 모멘트 분포가 반력과 처짐을 결정하는 중요한 요소입니다.
- 모멘트는 다음과 같은 식으로 계산되며, 각 지점의 모멘트를 계산해 반력과 처짐을 구할 수 있습니다:
- 부정정보 문제에서 모멘트 분배법 등을 통해 각 지점의 모멘트를 분배하여 계산하는 방식이 자주 사용됩니다.
9. 에너지 방법(Energy Methods)
- 변형률 에너지는 부정정보에서 자주 사용되는 개념으로, 구조물에 하중이 가해질 때 발생하는 변형 에너지를 이용해 반력이나 처짐을 구합니다.
- **캐스티글리아노 정리(Castigliano’s Theorem)**와 같은 에너지 방법을 사용하여 부정정보의 문제를 해석할 수 있습니다. 이 방법에서는 하중이 작용한 구조물이 저장하는 에너지를 이용해 변형이나 반력을 계산합니다.
10. 모멘트 분배법(Moment Distribution Method)
- 부정정보 해법 중 하나로 모멘트 분배법이 사용됩니다. 이는 각 지점에서 발생하는 모멘트를 분배하여 여러 지점의 모멘트를 계산하는 방식입니다.
- 각 지점에서의 모멘트를 분배해 구한 후, 반력과 처짐을 계산할 수 있으며, 부정정보 구조의 해석에서 많이 사용됩니다.
위와 같이 수많은 조건들이 있는 것을 찾았습니다.
한번에 다 정리하면, 기억에 남지 않기 때문에, 우선적으로 처음 문제에서 필요했던 조건을 살펴보겠습니다.
문제를 보면 처짐량이 같다는 조건을 사용하기 위해, 부정정보를 나누어야 하는 것을 확인 할 수 있었습니다.
그런데
부정정보를 외팔보, 정정보 등으로 나누어 풀 때, 어떻게 나누는 지 왜 이렇게 나누는지 애매하였고, 그에 따라
부정정보를 외팔보, 정정보로 나누는 기준을 찾아 보았습니다.
1. 지지 조건에 따른 나눔
구조의 지지 조건에 따라, 어떤 부분은 **정정보(Determinate Structure)**로 해석할 수 있고, 어떤 부분은 **부정정보(Indeterminate Structure)**로 남게 됩니다.
- 정정보는 힘의 평형 조건만으로도 반력과 모멘트를 계산할 수 있는 구조입니다. 예를 들어, 단순 지지보나 힌지로 지지된 보가 이에 해당합니다.
- 단순 지지된 구조는 모멘트와 하중의 평형을 통해 간단하게 해석할 수 있기 때문에 정정보로 나누어 처리합니다.
- **외팔보(Cantilever Beam)**는 한쪽 끝이 고정된 상태에서 다른 쪽 끝이 자유롭게 놓여 있는 구조입니다. 외팔보는 반력과 모멘트가 고정단에서 모두 발생하는데, 이 구조는 해석하기가 비교적 쉬운 편입니다.
- 부정정보를 풀기 위해 외팔보처럼 한쪽 끝이 고정되어 있고, 하중이 작용하는 부분을 나누어 해석하는 것이 일반적입니다.
예를 들어:
- 고정단 A와 롤러 지지점 B가 있는 부정정보는, A 지점에서 발생하는 반력과 모멘트를 구하기 위해 외팔보로 나누어 해석할 수 있습니다.
- B 지점은 롤러 지지점이므로, 이 부분은 처짐이나 기울기 조건을 통해 정정보로 해석할 수 있습니다.
2. 하중의 형태에 따른 나눔
하중의 작용 방식에 따라 구조를 나누는 기준도 다릅니다. 하중이 일정하게 분포된 경우와, 특정 지점에 집중된 경우는 해석 방법이 달라지기 때문에, 이러한 특성을 반영하여 구조를 나누게 됩니다.
- 집중 하중은 보의 특정 지점에 걸리며, 그 지점에서 큰 모멘트와 처짐을 유발합니다. 따라서 집중 하중이 작용하는 지점을 기준으로 구조를 나누어 해석할 수 있습니다.
- 등분포 하중은 보 전체에 걸쳐 작용하므로, 하중의 분포에 따라 보를 나누어 계산할 수 있습니다. 등분포 하중은 보 전체에서 동일한 하중을 받기 때문에, 이를 고려하여 하중의 작용 구간을 기준으로 나누는 것이 효과적입니다.
예를 들어:
- 외팔보에 등분포 하중이 작용하면, 보 전체에 걸쳐 하중이 균일하게 분포됩니다. 이 경우 보를 등분포 하중이 걸리는 부분과 고정단 부분으로 나누어 해석합니다.
- 집중 하중이 걸리는 경우는 하중이 작용하는 지점과 그 외 구간을 분리하여 나누어 처리할 수 있습니다.
3. 처짐과 변형에 따른 나눔
부정정보에서 문제를 풀 때, **처짐(Deflection)**과 **기울기(Slope)**를 고려하여 구조를 나누기도 합니다. 특히, 처짐이 발생하는 지점과 기울기(회전 각도)가 발생하는 지점을 기준으로 구조를 나누면 해석이 더 용이합니다.
- 고정단에서는 처짐과 기울기가 모두 0이 되어야 합니다. 이 조건을 기준으로 나누어, 고정단의 특성을 반영한 부분과 자유로운 기울기나 처짐이 발생하는 부분을 분리해 처리합니다.
- 반대로, 롤러 지지점이나 힌지 지지점에서는 처짐이 0이지만 기울기가 발생할 수 있습니다. 이러한 조건을 기준으로 나누면, 처짐이나 기울기가 발생하는 구간과 그렇지 않은 구간을 별도로 해석할 수 있습니다.
예를 들어:
- 고정단 A에서 처짐이 0이어야 하므로, 이를 기준으로 보를 나누어 고정단 부분은 기울기와 처짐 조건을 통해 해석합니다.
- 롤러 지지점 B에서는 처짐이 없지만 기울기가 발생할 수 있으므로, 이 지점을 기준으로 정정보로 처리하여 해석할 수 있습니다.
4. 부정정보를 분해하여 해석하기
부정정보를 해석할 때 자주 사용하는 방법 중 하나는 부정정보를 여러 개의 정정보와 외팔보로 나누는 것입니다. 이렇게 나누면 각 부분에 대해 해석한 결과를 조합하여 전체 구조에 대한 해석이 가능해집니다.
- 가상 단면(Ghost Cut): 부정정보 문제에서 모멘트나 반력을 구하기 어렵다면, 가상의 단면을 만들어 구조를 나누어 계산하는 방법이 사용됩니다. 예를 들어, 보를 가상의 단면으로 나누어, 각각을 외팔보나 정정보로 해석한 후, 상호 작용을 반영해 해를 구할 수 있습니다.
예를 들어:
- 고정단과 힌지 지점 사이에 가상의 단면을 만들어, 고정단 부분을 외팔보로, 나머지 부분을 정정보로 나누어 해석할 수 있습니다.
- 각 단면에서 발생하는 모멘트와 처짐을 계산한 후, 이를 전체 구조에 적용해 최종 해석을 할 수 있습니다.
5. 모멘트 분배법(Moment Distribution Method)
부정정보에서 사용하는 대표적인 방법 중 하나는 모멘트 분배법입니다. 이는 여러 지점에서 발생하는 모멘트를 분배하여 구조의 반력을 계산하는 방법입니다. 이 방법은 각 지점에서 발생하는 모멘트를 분리하여 계산한 후, 이를 다시 분배하는 방식으로, 복잡한 부정정보 문제를 단순화하는 데 유용합니다.
위를 보면 많은 조건들이 있는데, 여기서는 위의 3번 조건, 처짐을 활용하면 될 것 같다는 생각이 들었습니다.
문제 이미지를 보면,
여기서 B 점이 롤러로 지지되고 있기 때문에!
B 지점에서의 처짐량이 상쇄된다는 조건을 활용하면 되는 것으로 생각할 수 있습니다.
그래서 B 지점을 기준으로
등분포하중 ω만 존재하는 외팔보,
B점에서의 반력만 존재하는 정정보로 나누어 볼 수 있습니다.
그렇다면 처짐량을 계산하는 방법은 무엇일까요?
다음 글에서는 처짐에 대해 다루어 보겠습니다.
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