일반기계기사 처짐량

보의 처짐을 나타내기 위해선

탄성선 방정식으로 부터 유도합니다.

 

탄성선 방정식을 유도하는 법도 따로 있지만, 탄성선 방정식은 비교적 간단하기에 탄성선 방정식 유도부터 외우는 것은 비효율적이라 판단됩니다.

 

탄성선 방정식은 다음과 같습니다.

여기서

 

• y는 보의 처짐(변위),
• x는 보의 축방향 위치,
• M(x)는 x 위치에서의 모멘트,
• E는 보의 재료에 따른 탄성계수(Young's Modulus),
• I는 보의 단면 2차 모멘트입니다.

 

 

등분포하중이 작용할 때의 처짐량과 외팔보에서 집중하중이 걸릴 때의 처짐량을 유도해보겠습니다.

 

에서

 

M(x)만 달리하여 두 번 적분하면 처짐량이 나옵니다.

 

외팔보에서 등분포하중이 있을 때의 M(x)는

을 넣어 최대 처짐량을 구할 수 있는데,

두 번 적분해보면

로 유도 할 수 있습니다.

 

하지만! 여기서 실험적 데이터와 해석적 기법을 통해 나온 보정 상수(?)가 추가되면 최대 처짐량이 다음과 같다고 합니다.

(즉, 암기하라는 뜻이죠)

 

 

위 문제에서는 등분포하중에 의한 처짐량과 B점에서의 반력에 의한 처짐량이 동일하다는 조건으로 문제를 풀면 B 지점에서의 반력을 구할 수 있습니다.

 

위에서 구한 등분포하중에서의 최대 처짐량을 사용하려 했지만!!!!!!!!!!

B 지점이 고정되어 있으므로, 등분포 하중에 의한 처짐의 최대 지점이 A 지점과 B 지점의 정중앙에 위치합니다!

 

따라서 여기서는 등분포하중이 작용하는, "양 끝이 지지되어 있는" 조건에서의 최대 처짐량과

B 지점에서 반력이 있을 때의 최대 처짐량이 같다는 조건이 나옵니다.

 

등분포하중이 작용하는, 양 끝이 지지되어있는 조건에서의 처짐량을 유도해보겠습니다.

여기서 임의의 x지점에서의 모멘트 값 M(x)를 구해보면

로 생각 할 수 있습니다.

반력은 양쪽에서 무조건

 

이므로, 왼쪽을 기준으로 생각 했을 때의 모멘트 값을 

로 생각할 수 있고, 같은 방식으로 오른쪽에서의 모멘트 값을 생각하여 위와 같은 M(x)를 유도할 수 있습니다.

이를 탄성선 방정식에 대입하고,

x 가 A와 B의 정 중앙에 위치할 때 최대 처짐이 발생하는 것으로 x 값을 대입하면,

를 구할 수 있습니다.

 

그리고 B 지점에서의 반력

이 작용할 때, 모멘트 값을 생각해보면 

탄성선 방정식에 대입하고 적분을 두 번 하면,

로 생각 할 수 있는데,

여기서 x=l일 경우에 최대 처짐이 발생하므로 대입하면

 

로 구할 수 있습니다.

 

부정정보를 두 개의 보로 나누어 보았기 때문에 최대처짐량이 동일하다는 식을 적용합니다.

여기서

이라는 값을 구할 수 있습니다.

 

분명히 기출 맛보기로 한 문제에서 공부해야할 것을 준비 해 보았는데, 앞으로 공부할 부분이 정말 많을 것 같습니다.

 

해당 기출은 22년도 2회 문제였습니다.